비행기의 운동과 모멘트

PITCHING, ROLLING, YAWING

 

비행기의 운동을 공부하기에 앞서, 흔히 볼 수 있는 소형 비행기(?)의 기동 영상을 한번 보고 갑시다.

 

 

 

 

비행기의 운동은 기본적으로 3차원을 구성하는 3축(xyz)에 대하여 PITCHING, ROLLING, YAWING 이라는 세가지 요소로 나누어 집니다.

 

 

 

PITCHING 은 비행기의 한 쪽 날개 끝에서 반대 쪽 날개 끝 방향으로 가로 지르는 가로축(Lateral axis, x)을 중심으로 회전하는 운동이며, ROLLING 은 비행기의 기수와 꼬리를 관통하는 기축선, 또는 세로축(Longitudinal axis, y)을 중심으로 하는 회전 운동입니다. 마지막으로 YAWING 은 비행기 수직축(Vertical axis, z)을 중심으로 하는 회전 운동입니다.

 

따라서 위 영상에 나온 소형 비행기가 구사하고 있는 기동들 역시 복잡해 보이지만 결국 PITCHING, ROLLING, YAWING 의 조합이라는 것을 알 수 있습니다. 한 번 다시 살펴 볼까요?

 

 

 

위 영상은 앞에서 본 소형 비행기 기동 영상에서 1분 쯤 지나고 나왔던 기동 입니다. 찬찬히 살펴보면 이 기동이 크게 PITCHING → ROLLING → YAWING → 다시 ROLLING 순 으로 구성되며 각각의 운동을 하는 순간에도 PITCHING 와 ROLLING 이 섞여있다 던지 YAWING 과 PITCHING 이 섞여있다는 것을 알 수 있습니다.

 

흥미로운것은 이 모든 회전운동의 축들(xyz axis)이 무게 중심을 관통한다는 사실입니다.

 

 

 

따라서 비행기는 궁극적으로 무게중심(CG : Center of Gravity)을 중심으로 복합적인 회전운동을 하게 됩니다. 물리과목에 관심이 있는 사람은 알겠지만 이것은 비단 비행기 뿐 아니라 공중에서 회전하는 모든 물체에 적용되는 이야기 입니다.

 

 

The bat rotates around the center of mass(gravity) (출처: Eastern Illinois Univ.)

 

이와같이 무게중심과 같은 어떤 기준점을 중심으로 회전시키는 회전력을 해석하려면 기준점, 기준점으로 부터 거리, 그리고 거기에 작용하는 힘이 어떻게 서로 상호작용을 하는지 이해하여야 합니다. 그래서 비행기의 운동과 관련된 특성들, 대표적으로 '안정성' 과 같은 것들을 이해하고자 한다면 모멘트(moment)에 대한 개념을 반드시 짚고 가야 합니다.

 

 

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모멘트(moment)

 

시소, 지렛대 모두 모멘트의 기본원리를 바탕으로 한다 

 

여러분들이 놀이터에 있는 '시소'의 특징 대해 이해하고 있다면 모멘트의 기본적인 개념을 알고 있다고 봐도 무방합니다.

 

모두 아시다시피, 시소는 타는 사람들의 몸무게가 서로 같든 다르든 상관없이 같이 타는게 가능한 놀이기구 입니다. 타는 위치에 따라서 몸무게가 가벼운 아이아 몸무게가 무거운 성인을 들어 올릴 수도 있지요.

 

이 같은 일들이 가능한 것은 시소가 어떤 기준점(시소 받침대)으로 부터의 거리와 타는 사람의 몸무게에 따라 달라지는 '무언가(물리량)'가 있기 때문입니다.

 

 

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아래 그림에서 두 사람이 시소에 올라 타 있고 시소는 수평상태에서 멈추어 있습니다.

 

 

 

 

그럼 여기서 시소에 올라 탄 사람 중 누가 더 몸무게가 나갈까요?

그리고 두사람의 무게중심은 어디에 있을까요?

 

 

 

 

직관적으로 왼쪽에 있는 사람이 더 무겁다는 것을 알 수 있을 겁니다. 왜냐하면 왼쪽에 있는 사람이 오른쪽에 있는 사람보다 시소 받침대로 부터 더 가까이 있기 때문이죠. 그리고 시소가 어느 한쪽으로 기울어 지지 않았다는 말은 즉, 무게중심이 시소의 받침대 위에 있다는 말이 됩니다.

 

 

 

 

정리하면, 시소위의 사람들의 무게와 무게중심으로부터의 거리 사이에 어떤 관계가 있는 '무언가', 즉 '물리량'이 있고 시소가 평형을 유지하려면 이 각각의 물리량이 서로 같아햐 한다는 것을 알 수 있습니다.

 

 

이것을 좀 더 일반화 시켜보면, 이 물리량은 어떤 힘(무게)을 어떤 기준점(무게중심)으로 부터의 거리관계를 통해 정의 된다고 볼 수 있습니다.

 

 

 

 

이와같은 물리량을 우리는 '모멘트'라고 부릅니다.

 

이렇게 모멘트는 '거리(모멘트 암) × 힘(직각)' 으로 정의됩니다.

 

 

그럼 다시 위 시소 그림으로 돌아가서, 기준선을 중심으로 두 사람 각각의 모멘트를 구해보면,

 

r × 2m = 2r × m

 

즉, 이 두사람의 모멘트가 같다는 것을 알 수 있습니다. 그리고 모멘트가 같기 때문에 시소는 평형을 유지 할 수 있는 것이죠.

 

 

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자, 그렇다면 모멘트가 바뀌면 어떻게 될까요? 다시 시소 그림으로 돌아가봅시다. 이번엔 기준선을 완전히 왼쪽 사람이 있는 곳으로 이동시켜 보았습니다.

 

 

 

 

왼쪽 사람은 기준선으로 부터 거리가 0 이기 때문에 모멘트는 0 이 됩니다(0 × 2m = 0). 반면, 오른쪽 사람은 기준선으로 부터 거리가 늘어났기 때문에 모멘트는 커지게 됩니다(3r × m).

 

이 상태에서 받침대를 기준선으로 옮기게 되면,  

 

 

 

 

모멘트가 큰 쪽으로 시소는 기울게 됩니다. 즉, 오른쪽 사람은 비록 몸무게는 왼쪽 사람보다 작지만 모멘트를 크게 하면 얼마든지 시소로 왼쪽 사람을 들어올릴 수 있습니다. 이 것은 우리가 직관적으로 이미 알고 있는 모멘트의 특징입니다.

 

하지만 여기서 중요한 것은, 기준선이 바뀌어 이 두사람의 모멘트가 변하였다고는 하나 이 두사람의 절대위치가 바뀌지 않았다는 사실입니다. 무게 중심의 위치도 마찬가지 입니다. 기준선이 변하여 무게중심의 모멘트가 변하게 되어도 무게중심의 절대위치는 변하지 않습니다.

 

그리고 아래 그림과 같은 흥미로운 사실을 알 수 있는데요,

 

 

 

 

두 사람의 모멘트를 합한 전체 모멘트 값과 두 사람의 무게중심 모멘트 값이 같다는 사실 입니다.

 

3r × m = r × (2m+1m)

 

기준선(Datum)을 어디에 두더라도 두 사람 과 무게중심의 절대위치는 바뀌지 않기 때문이죠.

 

 

 

 

따라서, 전체 모멘트 값은 무게중심의 모멘트 값과 항상 같다는 일반적인 결론을 도출할 수 있습니다.

 

 

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그럼 다시, 모든 물체의 회전 운동은 무게중심을 중심으로 이루어지기 때문에 시소의 받침대를 다시 무게중심의 위치로 옮겨보겠습니다. 

 

 

 

여기서 문제를 하나 내겠습니다. 만약 위 그림처럼 무게중심으로 부터 오른쪽으로 r 만큼 떨어진 곳에서 어떤 사람이 2m 의 힘으로 시소를 위로 밀고 있다면, 오른쪽 시소 끝단을 얼마의 힘으로 아래로 당겨야 시소의 평형이 계속 유지 될까요?

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전체 모멘트 값은 무게중심의 모멘트 값과 항상 같다 라는 전제를 가지고 이 문제를 살펴보면 매우 쉽게 직관적으로 풀 수 있습니다.

 

문제의 핵심은 누가 시소의 어느 위치에서 얼마의 힘을 가하든 간에 시소는 평형을 유지하고 있다는 것이고, 이것은 즉, 무게중심의 모멘트는 0 으로 변하지 않았다는 것 입니다.

 

따라서 무게중심의 모멘트 값과 전체 모멘트 값은 항상 같아야 하기 때문에, 시소를 무게중심 오른쪽 r 만큼 떨어진 곳에서 위로 밀고 있는 사람이 변화를 준 모멘트(2mr) 만큼, 시소의 오른쪽 끝단에서 아래로 당기고 있는 사람이 모멘트를 만들어 주면 됩니다.

 

 

즉, 무게중심의 모멘트는 0 이므로 기준선(datum)을 무게중심의 위치에 잡고, 오른쪽 r 위치에서 2m 힘으로 들어 올렸으므로 모멘트는 2rm 만큼 증가하였고 이를 상쇄하려면 오른쪽 2r 위치에서 m 만큼의 아래로 당기는 힘이 필요 합니다.

 

 

따라서 정답은 m 입니다.

 

 

 

이를 수식으로 정리해 볼 수도 있습니다. 기준선 왼쪽을 (-) 오른쪽을(+), 아래로 작용하는 힘을(+) 위로 작용하는 힘을(-)로 두면,

 

- 전체 모멘트: (-r × 2m) + (r × -2m) + (2r × m) + (2r × □)

- 무게중심 모멘트: 0

 

전체 모멘트 값은 무게중심 모멘트 값과 항상 같으므로,

 

(-r × 2m) + (r × -2m) + (2r × m) + (2r × □) = 0     ∴ □ = m

 

 

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위의 예제는 사실 실제 비행기의 날개와 승강타(elevator)의 작용원리를 그대로 가져온 것입니다. 특히 비행기 기수의 조종(PITCHING)은 무게중심(Lateral axis)을 받침대로 하는 시소의 원리로 생각 할 수 있습니다.

 

 

 

날개에 걸리는 양력중심(CP)을 시소를 위로 미는 사람, 그리고 꼬리에 달린 수평안정판(horizontal stabilizer)과 승강타(elevator)에서 발생하는 조종압(T)을 시소를 아래로 당기는 사람으로 볼 수 있습니다.

 

 

 

그리고 이와 같은 원리는 '비행기의 세로 안정성'을 결정하는데 중요한 역할을 하게됩니다.

 

 

비행기의 안정성에 대해서는 다음글에서 계속 논하도록 하겠습니다.